Présentation

À l'échelle mondiale, la théorie analytique des nombres connaît actuellement des développements spectaculaires et passionnants. Cela est sans aucun doute dû à la créativité et au dynamisme de nombreux jeunes mathématiciens. Matomäki et Radziwiłł ont révolutionné notre compréhension du comportement des fonctions multiplicatives dans de courts intervalles. Dans le cadre de collaborations ultérieures avec Tao, ils ont établi une forme en moyenne de la conjecture de Chowla et ont étendu leur résultat aux fonctions multiplicatives tordues par des caractères additifs. L'étude de la distribution de la fonction zêta de Riemann sur la droite critique est un sujet central. Harper, ainsi que Radziwiłł et ses collaborateurs, ont montré des résultats spectaculaires concernant les moments de la fonction zêta et son maximum sur de courts intervalles. Koukoulopoulos et Maynard ont récemment résolu entièrement la conjecture de Duffin-Schaeffer sur les approximations rationnelles des nombres réels. La méthode de dispersion a eu des conséquences spectaculaires sur la répartition des suites arithmétiques dans les progressions arithmétiques, y compris le résultat de Zhang sur les écarts bornés entre les nombres premiers. Nous avons également l'intention de couvrir certains problèmes de type combinatoire additive qui impliquent des outils issus de la théorie multiplicative des nombres. L'objectif de cette école d'été est de transmettre ces nouvelles approches et de susciter d'autres discussions. Elle permettra aux chercheurs débutants de renforcer et d'élargir leurs connaissances de ces nouvelles techniques.

Objectifs de l’école :

Matomäki et Radziwiłł ont révolutionné notre compréhension du comportement dans les petits intervalles en montrant tout d’abord un phénomène d’oscillation de la fonction de Möbius dans presque tous les petits intervalles. En collaboration avec Tao, ils ont rapidement étendu ce résultat aux fonctions multiplicatives, puis aux fonctions multiplicatives tordues par un caractère additif. L’étude du comportement de la fonction zêta de Riemann sur la droite critique est un sujet central. Harper et Radziwiłł avec ses collaborateurs ont montré des résultats spectaculaires concernant les moments de celle-ci et le maximum de celle-ci dans de petits intervalles. Koukoulopoulos et Maynard ont récemment entièrement résolu la conjecture de Duffin—Schaeffer concernant la distance aux entiers le plus proche de multiples de nombres réels. La méthode de la dispersion permet d’étudier efficacement la répartition en moyenne dans les progressions arithmétiques. Nous avons aussi l’intention d’évoquer des problèmes de la combinatoire additive qui font intervenir des outils de la théorie multiplicative des nombres. Ces sujets en rapide évolution justifient notre proposition d’école d’été, afin de permettre transmission et discussion autour de ces nouvelles approches. Ils permettront à des chercheurs ou chercheuses débutants de renforcer et élargir leur connaissance à des techniques nouvelles.

Thématiques :

- le comportement des fonctions multiplicatives dans les petits intervalles,

- le comportement de la fonction zêta de Riemann sur la droite critique,

- des résultats d’équi-répartition dans les progressions arithmétiques

- exemples de problèmes de combinatoire additive utilisant les outils de la théorie multiplicative des nombres

Public concerné : Prioritairement : jeunes chercheur.e.s (CR, MCF, doctorant.e.s et post-doctorant.e.s).

Prérequis : avoir suivi des enseignements de niveau M2 en théorie analytique des nombres